从北京起飞的飞机，绕一圈还能回到北京吗？

原标题:从北京起飞的飞机能绕一圈回到北京吗？

前苏联有一位数学、物理、天文方面的科普作家，他的名字叫贝利曼。他一生写了105部科普作品，其中最著名的是《有趣的物理学》。

雅科夫·伊西多罗维奇·贝利曼

前两天在他写的另一本书《有趣的数学》里看到一个有趣的问题。原标题以列宁格勒为例。我把它改成北京作为例子。标题如下:

如果一架飞机离开北京，它将向北飞行2000公里，向西飞行2000公里，向南飞行2000公里，向东飞行2000公里。飞机现在在哪里？

我把话题发到网上后，网友们反响热烈，回答各种奇怪:有的说回到北京了，有的说跟地球自转有关，有的说跟飞机高度有关，还有的说飞机没油了，掉进海里了。

其实这是一道纯粹的中学地理数学题，不是脑筋急转弯。今天我们来学习一下，飞机在哪里？

一、球面上的短程线

首先要知道，地球是一个球体，球体上的几何和平面上的几何是不一样的。我们之前也讨论过:在平面上，我们用的几何叫做欧几里得几何。如果是在一个鞍曲面(双曲面)上，应该使用罗巴切夫斯基几何；如果是在椭球面上，会用到黎曼几何。这些几何特征是不同的。

欧洲几何、罗氏几何和黎曼几何中的三角形

比如平面上，直线外只有一条平行线，三角形内角之和为180度；罗氏几何中，直线外有多条平行线，三角形内角之和小于180度。在黎曼几何中，情况有所不同:直线外没有一条直线的平行线，三角形内角之和大于180度。

比如在平面上，两点之间的直线最短。如果地球是一个平面，从北京向四个方向行进2000km，最终回到北京，形成一个正方形。

平面上的正方形

但在球体上，情况并非如此。球体上没有直线，球体上所有的线都是曲线。但是，从一个点到另一个点，仍然有一条最短的路径，这就是所谓的短程线。

具体来说:如果我们想知道球面上A点到B点的最短路径是怎么走的，应该用下面的方法:首先，通过A，B和球面的圆心O做一个平面。这个平面与球面相切，切面是圆。因为这个圆心就是球的中心，所以圆的半径等于球的半径。这样的圆是球内所有圆中最大的，称为球的“大圆”。

球体上的测地线

在这个大圆上，A和B把圆分成两个弧，较短的弧(大圆的下弧)是A和B之间的最短路径，也叫短程线。短线是球面上的“直线”。

知道了这个概念，我们就很容易理解为什么黎曼几何中没有平行线的概念:球面上所有的大圆都相交。利用球面上的“直线”，我们可以在球面上画出各种图形。比如用三个互相垂直的平面切割一个球面，形成三条互相垂直的“直线”，构成三角形ABC。这个三角形的每条边都相等，是一个等边三角形。但是，它的每个角都是直角，它的内角之和是270度！这在平面上是不可想象的，因为平面上的三角形最多只能有一个直角，内角之和是180度。

球体上的直角三角形

如果你在地球上画这个巨大的三角形，它会是这样的。它告诉我们:如果从北极沿一条子午线走到赤道(约1万公里)，然后向东左转90度走1万公里，再向北左转90度走1万公里，就可以画出一个三个角都是直角的等边直角三角形。

我们来研究一个简单的问题:如果我们买一张从北京起飞飞往纽约的机票，飞机会经过哪里？有人可能会说，当然是直线啦！飞机起飞后向东，经过韩国、日本、太平洋，穿过美国大陆，然后到达美国东海岸的纽约！

你是这样飞到北京和纽约的吗？

事实并非如此。从北京起飞的飞机基本上是往南走，经过北极的空，然后到达纽约。原因是这条航线接近北京到纽约的“短途航线”，技术上称为“大圈航线”。飞机沿着大圆航线飞行，距离最短。

到北京和纽约的短途线路

顺便说一句。我在某个音上截取了这一段，单独发了出来。一些作者为我指出了两个问题:

第一，我说“飞机起飞后一路向北，飞过北极，再到纽约”说法有误，因为飞过北极之后就不再是向北了，而是向南！ 第二，北京飞纽约的实际航线与短程线不同，飞机会多次调整航向，大约经过白令海峡北侧，阿拉斯加和加拿大，到达纽约，所以我说通过北极是错的。

第一道阅读理解题我不想评论。对于第二个问题，实际航线不可能是“严格”的短航线，因为需要考虑信风、机场、航区、管制等问题，但大部分都是“接近”短航线的。而且，北极不是一个点，而是一个区域。北京到纽约的航班已经进入北极圈，“在北极空”这种说法是没有问题的。

二、飞机为什么飞不回去？

题目中的飞机从北京起飞后，分别向北、西、南、东四个方向飞去。东西两个方向是指沿纬度的运动，是一个与赤道平行的圆。南北方向是沿着子午线运动的，子午线是连接地球南北两极的半圆。

经线和纬线

所有的经线都是一样长的，但是越靠近北极越短，越靠近赤道越长。现在，当我们在地图上画出标题中飞机的飞行轨迹时，你会发现，飞机最后是不会回到起点的。

近似飞行路线

我们仔细说一下:如果飞机从地球上的A点出发，沿子午线向北飞行2000km到达B点，那么它的纬度变高，纬度圈变小。然后飞机向西转弯，沿纬度飞行2000km到达c点，由于纬度圈比较小，飞机穿越的经度比较多。

再往南，飞机沿子午线飞行2000公里到达D点，此时它的纬度已经与起点相同。然后飞机又向东，沿着纬度飞2000km到e，你会发现飞机没有形成正方形。这是因为BC和de虽然飞行距离2000km，但是BC纬度高，纬度短，穿越经度大，而DE纬度低，纬度长，所以同样飞行距离的穿越经度小。所以飞机还在起点的西侧，还需要飞一段时间才能回到起点。比较好看的图如下:

飞机的路径ABCDE

3.飞机到底在哪里？现在，我们来计算一下问题中的飞机到底在哪里。我们要依次计算A、B、C、D、E五个点的坐标，最后找到E点的位置。

首先，北京的坐标大概是A(40° N，116 E)。它先向北飞行2000km，到达B点，从下图可以看出，两者纬度相差约18度，所以B点坐标为(58 N，116 E)。根据三角函数关系，我们还可以计算出A、B两点到地轴的距离RA、RB，实际上就是北纬40度和北纬58度两条平行线的半径。这个数据在以后的计算中会很有用。

直视，其中椭圆代表赤道面。

我们来计算下一个角的C点坐标。这需要从北极画空的俯视图。从这个角度看，A所在的纬度圈半径RA比较大，B和C所在的纬度圈半径RB比较小。2000km后，BC之间的角度约为34度，也就是说B和C的经度相差34度。C点在B的西侧，所以经度是116度-34度=82度，这是C的坐标C(58° N，82 E)。

北极的俯视图空

继续走，从C点沿子午线向南，再走2000km到D，就回到A所在的纬度圈。此时D和C仍在同一条子午线上，所以D的纬度与A相同，经度与C相同，经纬度为D(40° N，82 E)。

北极的俯视图空

最后，飞机从D点沿纬线向东飞行2000km，即沿俯视图中A和D所在的圆向A移动。飞了2000km，可以算出DE之间的角度是23.5度，也就是D和E的经度差，E的经度是82+23.5=106度，也就是E的经纬度(40 N，106 E)。

北极的俯视图空

由此，我们计算出飞机经过的几个位置。你会发现飞机的纬度最后回到了和北京同纬度，但是经度差了10度左右。飞机没有飞回北京。如果我们在地图上查北纬40度，东经106度，就会发现它位于内蒙古自治区阿拉善盟阿拉善左奇，北京以西800多公里。

阿拉善左旗

留下最后一个思考问题。按照我们刚才说的，只有球面上的短程线(大圆的弧)才能算是球面上的“直线”，所以所有的经线都是直线，而只有纬度上的赤道才能算是直线。当飞机沿着非赤道纬线东西飞行时，它不走直线。

如果还是从北京坐飞机，沿直线向北飞2000km，然后左转90度，继续沿直线飞2000km，再左转90度，沿直线飞2000km，左转90度，沿直线飞2000km。经过三个弯道和四个2000km，你现在在哪里？

知道这个答案的朋友，请在评论区留言。返回搜狐查看更多。

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